احتمال السلاسل في الروليت
السلاسل الطويلة من لون واحد شي عادي. وبعد ما لها أي معنى للدورة الجاية.
خمس مرات أحمر على التوالي: 2.7%. عشر: 0.074%. وفي جلسة طولها 200 دورة، سلسلة من ست مرات بلون واحد تطلع في أغلب الجلسات.
كل كم تجي سلسلة الخساير
رهان الدفع المتساوي على عجلة بصفر واحد يخسر 19 دورة من 37. كل صف يبيّن احتمال إن سلسلة معيّنة من الدورات تخسر كلها، وكم خسر لين ذاك الوقت لاعب مارتينغال اللي يضاعف رهانه بعد كل خسارة.
| خساير ورا بعض | الاحتمال | تقريبًا 1 من كل | الخسارة لين الحين | الرهان الجاي |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 51.4% | 2 | $1 | $2 |
| 2 | 26.4% | 4 | $3 | $4 |
| 3 | 13.5% | 7 | $7 | $8 |
| 4 | 7.0% | 14 | $15 | $16 |
| 5 | 3.6% | 28 | $31 | $32 |
| 6 | 1.8% | 55 | $63 | $64 |
| 7 | 0.94% | 106 | $127 | $128 |
| 8 | 0.48% | 207 | $255 | $256 |
| 9 | 0.25% | 403 | $511 | $512 |
| 10 | 0.13% | 784 | $1,023 | $1,024 |
| 11 | 0.065% | 1527 | $2,047 | $2,048 |
| 12 | 0.034% | 2974 | $4,095 | $4,096 |
| 13 | 0.017% | 5792 | $8,191 | $8,192 |
| 14 | 0.0089% | 11279 | $16,383 | $16,384 |
| 15 | 0.0046% | 21965 | $32,767 | $32,768 |
الاحتمال هو 19/37 مضروب في نفسه مرة عن كل خسارة، محسوب من دورة وحدة معيّنة. والجلسة الطويلة فيها وايد دورات ممكن تبدأ منها سلسلة مثل كذا، فعلى طول سهرة كاملة احتمالها أكبر بوايد من اللي يبيّنه صف واحد.
سلسلة وحدة
احتمالرياضياتالاحتمالفرصة إن نتيجة معيّنة تصير، من 0 لين 1 أو من 0% لين 100%. رقم واحد: 1/37 = 2.70%.اقرأ النص كله ← إن الدورات الـk الجاية كلها تطلع أحمررهانالأحمررهان دفعه متساوي على الأرقام الحمراء الـ18. بالفرنسي: rouge.اقرأ النص كله ← هو (18/37)ᵏ. اثنين: 23.7%. خمس: 2.7%. عشر: 0.074%، يعني تقريبًا 1 من 1,350. عشرين: 1 من 1.8 مليون. ستة وعشرين، الرقم القياسي في مونت كارلو: 1 من 137 مليون. هذي احتمالات سلسلة معيّنة تبدأ من دورة معيّنة، وهذا سؤال تقريبًا ولا أحد فعلًا يسأله.
في الجلسة
السؤال اللي يقصده الناس هو «هل بتطلع سلسلة من k في مكان ما في جلستي؟»، والجواب أكبر بوايد من (18/37)ᵏ، لأن الجلسة اللي فيها 200 دورة تعطي تقريبًا 200 مكان ممكن تبدأ منه السلسلة. سلسلة من ست مرات أو أكثر بنفس اللون، أحمر أو أسودرهانالأسودرهان دفعه متساوي على الأرقام السوداء الـ18. بالفرنسي: noir.اقرأ النص كله ←، تطلع في جلسة 200 دورة تقريبًا 94% من المرات؛ ثمان أو أكثر تقريبًا 47%؛ عشر أو أكثر تقريبًا 14%. وإذا حددت اللون من قبل، الاحتمالات تنزل لتقريبًا 75% و27% و7%. اللاعب اللي يقعد سهرة كاملة بيشوف سلاسل طويلة كل سهرة.
ليش مارتينغال يهمه هذا
كل تدرّجاستراتيجيةالتدرّجأي قاعدة تغيّر مبلغ الرهان على حسب النتائج اللي فاتت. التدرّجات السلبية ترفعه بعد الخسارة، والإيجابية بعد الربح.اقرأ النص كله ← سلبي له طول سلسلة يكسره: ست خسارات من رهان أساسي $10 مع حد $500، وعشر في فيبوناتشياستراتيجيةفيبوناتشيتدرّج يمشي على المتتالية 1، 1، 2، 3، 5، 8، 13…: خطوة لقدّام بعد الخسارة، وخطوتين لورا بعد الربح.اقرأ النص كله ←، وخمس لو تضاعف ثلاث مرات على الدزيناترهانالدزينة1–12 أو 13–24 أو 25–36، ويدفع 2:1.اقرأ النص كله ←. احتمال سلسلة من ست خسارات على الدفع المتساوي هو (19/37)⁶ ≈ 1.8% في كل محاولة، والجلسة اللي فيها 200 دورة فيها حوالي 100 محاولة، فالانكسار يجي تقريبًا في أربع جلسات من كل خمس بهذا الطول. احتمال السلاسل في الروليت هو السبب إن هذا السقوط مو نادر.
الأرقام الساخنة والباردة
نفس الحساب ينطبق على رهانات الرقم الواحدرهانرهان الرقم الواحدرقم واحد، ويدفع 35:1.اقرأ النص كله ←. في 300 دورة، العدد المتوقع لكل رقم 8.1؛ والانحراف المعياريرياضياتالانحراف المعياريالجذر التربيعي للتباين؛ يعني المسافة المعتادة بين النتيجة والقيمة المتوقعة.اقرأ النص كله ← تقريبًا 2.8. فيه رقم بيطلع 15 مرة ورقم بيطلع 2 بالصدفة بس، كل مرة. لوحة النتائج اللي تبرز الأرقام «الساخنة» قاعدة تبرز رأس توزيع طبيعي. المختبر يشرح كم دورة تحتاج قبل ما يصير لـالرقم الساخنخرافةالرقم الساخنرقم طلع في الفترة الأخيرة أكثر من المتوقع. وعلى عجلة نزيهة ما يتنبأ بأي شي.اقرأ النص كله ← أي معنى (آلاف، من عجلة وحدة معروفة).
الاستقلال هو الموضوع كله
سلسلة من عشر مرات أحمر ما تخلي الأسود أكثر احتمالًا، ولا تخلي الأحمر أكثر احتمالًا بعد. الاثنين 18/37. السلاسل صفة من صفات المتتاليات العشوائية، ولو ما كانت موجودة كان هذا هو الشي اللي يثير الشك: متتالية من 200 دورة ما فيها ولا سلسلة أطول من أربع بتكون دليل على التلاعب أقوى بوايد من متتالية فيها سلسلة من اثنعش.
الصيغة
أسئلة
المشهورة هي 26 مرة أسود في مونت كارلو يوم 18 أغسطس 1913. وفيه تقرير عن 32 مرة أحمر على التوالي في كازينو أمريكي سنة 1943. الاثنين يمشون مع الصدفة، إذا شفت كم دورة تدور الكازينوهات.
الاحتمال 18/37 في الحالتين. راهن على اللي تقوله خطتك، أو لا تراهن.
لا. الانحياز يبين لمّا بعض الخاناتالمعداتالخانةوحدة من الحجرات الـ37 المرقّمة على الدوّار. ينقال لها بعد: الفتحة، الكأس.اقرأ النص كله ← تطلع أكثر من غيرها على آلاف الدورات، مو على شكل سلاسل لون.
وناسة الرياضيات
جرّب تحلها بنفسك أول. كل حل مسكّر؛ افتحه لمّا تكون جاهز.
في المتوسط، كم دورة تحتاج العجلة الأوروبية لين يطلع كل رقم من الـ37 رقم مرة وحدة على الأقل؟
شوف الحل
الجواب تقريبًا 155 دورة في المتوسط؛ والوسيط 147.
احسب الانتظار رقم جديد ورا رقم جديد. الدورة الأولى دايمًا تطلّع رقم جديد. بعد ما تشوف 1 رقم، فيه 36 خانةالمعداتالخانةوحدة من الحجرات الـ37 المرقّمة على الدوّار. ينقال لها بعد: الفتحة، الكأس.اقرأ النص كله ← من 37 جديدة، فالرقم الجديد اللي بعده يحتاج في المتوسط 37/36 دورة. وبعد ما تشوف k أرقام، يحتاج 37/(37 − k).
اجمع فترات الانتظار: 37/37 + 37/36 + 37/35 + … + 37/1 = 37 × (1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/37) ≈ 37 × 4.20 = 155.5 دورة.
أغلب هذا في الآخر. الرقم الأخير بروحه ياخذ 37 دورة في المتوسط، والخمسة الأخيرة تقريبًا 85. وعلى العجلة الأمريكية نفس المجموع يعطي تقريبًا 161. هذي «مسألة جامع القسائم»؛ ونفس المتوسط يطلع من الحساب المعياري.
في 37 دورة على عجلة أوروبية، دورة لكل خانة، كم رقم مختلف تتوقع تشوف؟
شوف الحل
الجواب تقريبًا 23.6. وتقريبًا ثلث الأرقام، يعني حوالي 13، ما تطلع أبد.
خذ رقم واحد، خلنا نقول 17. في كل دورة احتمال إنه ما يطلع 36/37، فيغيب عن الـ37 دورة كلها باحتمال (36/37)³⁷ ≈ 0.363.
كل رقم له نفس الاحتمال، فيغيب في المتوسط 37 × 0.363 ≈ 13.4 رقم ويطلع 37 − 13.4 ≈ 23.6، ووايد منها يطلع مرتين أو أكثر.
لاعبين الروليت يسمّون هذا «قانون الأثلاث». وهو مو قانون، بس حساب التكرارات: في سلسلة بطول العجلة، تقريبًا ثلث الأرقام تقعد برّا، على العجلة النزيهة مثل أي عجلة ثانية. وعلى 38 خانة النسبة بعد (37/38)³⁸ ≈ 0.363؛ وعلى عجلة كبيرة تستقر قريب من 1/e ≈ 0.368.
ربعك يوريك قائمتين فيهم 50 لون، أحمررهانالأحمررهان دفعه متساوي على الأرقام الحمراء الـ18. بالفرنسي: rouge.اقرأ النص كله ← أو أسودرهانالأسودرهان دفعه متساوي على الأرقام السوداء الـ18. بالفرنسي: noir.اقرأ النص كله ←، ويقول إن كل وحدة منهم جات من عجلة بعد ما شالوا الأصفارالعجلةالصفرالخانة الخضرا الوحيدة اللي ما يغطيها أي رهان دفع متساوي أو دزينة أو عمود؛ وهي مصدر ميزة الكازينو. ينقال له بعد: الصفر الواحد، 0.اقرأ النص كله ←. الأولى يتغيّر فيها اللون 25 مرة وأطول سلسلة فيها ست مرات. والثانية يتغيّر فيها 35 مرة وما فيها ولا سلسلة أطول من ثلاث مرات. أي وحدة مألّفة؟
شوف الحل
الجواب الثانية. القائمة الحقيقية يتغيّر فيها اللون تقريبًا 24 أو 25 مرة. والقائمة اللي فيها 35 تغيير تطلع تقريبًا مرة من كل 500 قائمة، واللي ما فيها ولا سلسلة أطول من ثلاث مرات تقريبًا مرتين من كل 100.
كل لون جديد يا يكرّر اللي قبله يا يتغيّر، نص ونص، فـ49 فرصة للتغيير تعطي 24.5 تغيير في المتوسط، زايد ناقص تقريبًا 3.5. وخمسة وثلاثين أكثر من المتوسط بثلاث خطوات من هذي؛ والعجلة النزيهة تطلّع هذا العدد من التغييرات تقريبًا مرة من كل 500 قائمة.
والسلاسل تقول نفس الكلام. القائمة الحقيقية من 50 لون فيها سلسلة من أربع مرات أو أكثر في تقريبًا 98% من الحالات، وأطول سلسلة فيها غالبًا خمس أو ست مرات.
الناس اللي تطلب منهم يألّفون قائمة عشوائية يغيّرون اللون وايد، لأن سلسلة من أربع أو خمس مرات تبين لهم كأنها نمط. وتايلور (2021) يوري نفس العلامة في قوائم رمي عملة ألّفها طلاب: العشوائية الحقيقية فيها سلاسل أكثر من اللي يتوقعه الناس.
كتاب فيه حكايات كازينوهات يتكلم عن لاعب طلع رقمه خمس مرات ورا بعض، ويقول هذا رقم قياسي. إلى أي حد هذا نادر على عجلة أوروبية؟ وكم مرة لازم يصير في مكان ما في كازينو واحد فيه 20 طاولة، كل وحدة تدوّر 40 مرة في الساعة، ليل ونهار؟
شوف الحل
الجواب رقم محدد من قبل خمس مرات ورا بعض: 1 من 69 مليون. وأي رقم يطلع أربع مرات زيادة بعد أول مرة يطلع فيها: 1 من 1.87 مليون. وهذا الكازينو يسوي تقريبًا 7 ملايين دورة في السنة، فلازم يشوف سلسلة من خمس ثلاث أو أربع مرات في السنة.
الرقم المحدد يطلع باحتمال 1/37 كل دورة، فاحتمال إنه يطلع خمس مرات ورا بعض (1/37)⁵ = 1 من 69,343,957. بس محد يسمّي الرقم من قبل. فشنو ما طلع أول، لازم الأربع دورات اللي بعده تكرره: (1/37)⁴ = 1 من 1,874,161.
20 طاولة × 40 دورة × 24 ساعة × 365 يوم = 7,008,000 دورة في السنة. وكل دورة ممكن تبدأ سلسلة، فالكازينو يتوقع 7,008,000/1,874,161 ≈ 3.7 سلسلة من خمس في السنة.
ما فيه سجل رسمي من هالنوع، ولا يحتاج: الشي النادر على طاولة وحدة شي عادي على مستوى كازينو كامل، والقصص تنقال عن الطاولة اللي صار فيها. والقصة، عند غولدمان (2007)، على عجلة بصفر مزدوج، واللي فيها الأرقام 1 من 79 مليون و1 من 2.09 مليون.
استراحة ضحك
السلاسل الطويلة هي شكل العشوائية الحقيقي.
المصادر
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.