معيار كيلي والروليت
معيار كيلي يقول للمراهن اللي عنده ميزة كم المفروض يراهن. وفي الروليت يعطي جواب واضح: ولا شي.
مبلغ كيلي = الميزة / نسبة الدفع. ولمّا تكون الميزة سالبة الصيغة تطلّع نسبة سالبة، ومعناها: لا تراهن. بس المعيار بعده مفيد عشان تفهم ليش لاعبين الانحياز حددوا مبالغ رهاناتهم بالطريقة اللي حددوها فيها، وليش كل الباقين لازم يحددون مبالغهم حسب الميزانية.
المعيار
جون كيلي (1956) سأل: المقامر اللي عنده ميزة معروفة، شلون يحدد مبالغ رهاناته عشان يكبّر نمو رأس مال اللعبالمالرأس مال اللعبالمبلغ الكلي اللي تخصصه للعب. وإدارة رأس المال إنك تحدد كم منه تخاطر فيه في كل رهان وفي كل جلسة.اقرأ النص كله ← لأقصى حد على المدى الطويل؟ والجواب، لرهان يدفع b مقابل 1 واحتمالرياضياتالاحتمالفرصة إن نتيجة معيّنة تصير، من 0 لين 1 أو من 0% لين 100%. رقم واحد: 1/37 = 2.70%.اقرأ النص كله ← ربحه p واحتمال خسارته q = 1 − p، إنك تراهن بنسبة f* = (bp − q) / b من رأس المال. إذا f* موجبة راهن بهذي النسبة؛ وإذا صفر أو سالبة لا تراهن. كيلي كان يشتغل في مختبرات بل، وبحثه «A new interpretation of information rate» (تفسير جديد لمعدل المعلومات) حط المسألة داخل نظرية المعلومات حق كلود شانون: المقامر اللي توصله الإشارات على خط فيه تشويش، بنسب دفع عادلة، أحسن شي يقدر يسوّيه إنه يكبّر رأس المال بنفس المعدل اللي ينقل فيه الخط المعلومات. وفي 1961 أثبت ليو بريمان إن رهان كيلي، على المدى الطويل، يخلص متقدّم على أي استراتيجية تختلف عنه في الأساس، ويوصل لهدف محدد في أقصر وقت تقريبًا.
رهان كيلي في الروليت
حق الأحمررهانالأحمررهان دفعه متساوي على الأرقام الحمراء الـ18. بالفرنسي: rouge.اقرأ النص كله ←: b = 1، p = 18/37، q = 19/37؛ f* = (18/37 − 19/37)/1 = −1/37. وحق رهان الرقم الواحدرهانرهان الرقم الواحدرقم واحد، ويدفع 35:1.اقرأ النص كله ←: b = 35، p = 1/37، q = 36/37؛ f* = (35/37 − 36/37)/35 = −1/1295. كل رهان قياسي يطلّع نسبة كيلي سالبة، لأن كل رهان ميزته سالبة، والمبلغ الأمثل للنمو هو صفر. رهان كيلي في الروليت طريقة رسمية تقول نفس اللي تقوله صفحة ميزة الكازينو: ما فيه مبلغ يخلّي رهان قيمته المتوقعة سالبة يكبّر رأس المال.
وين انطبق معيار كيلي فعلًا
لاعبين الانحياز كان عندهم ميزة ومشكلة في تحديد المبالغ. جاغر وعائلة غارسيا بيلايو واليودايمونيون، كلهم كان لازم يقررون كم يراهنون على الميزة اللي قاسوها؛ لأن الرهان بأقل من اللازم يضيّع الميزة، والرهان بأكثر من اللازم يخاطر بالإفلاس قبل ما تبين الميزة. لـخانةالمعداتالخانةوحدة من الحجرات الـ37 المرقّمة على الدوّار. ينقال لها بعد: الفتحة، الكأس.اقرأ النص كله ← تطلع 1 من 30، معيار كيلي يقول 0.57% من رأس المال في كل دورة على هذاك الرقم: إذا عندك $10,000، يعني حوالي $57 في الدورة، ونمو نموذجي تقريبًا 0.054% في كل دورة، يعني ×1.7 خلال 1,000 دورة. متوسط الربح ضعف هذا، 0.11% في الدورة، بس معيار كيلي يستهدف رأس المال النموذجي مو المتوسط، لأن المتوسط تنفخه كم سلسلة محظوظة. ونص كيلي هو الاختيار العملي المعتاد لأن تقدير الميزة مو أكيد.
النموذجي والمتوسط
الفرق بين رأس المال النموذجي ورأس المال المتوسط وايد كبير. خذ خانة تطلع 1 من 25، يعني ميزة 44%، وهذا الرقم اللي يذكره ثورب لجهازه. مبلغ كيلي عليها 1.26% من رأس المال. بعد 1,000 دورة يكون رأس المال النموذجي كبر حوالي 11.5 مرة، أما المتوسط، اللي ترفعه كم سلسلة محظوظة وايد، فكبر حوالي 249 مرة. لو تراهن بأكثر من مبلغ كيلي يرتفع المتوسط وتنزل النتيجة النموذجية: بضعف مبلغ كيلي رأس المال النموذجي بس يتضاعف، وبمرتين ونص مبلغ كيلي يصغر، مع إن كل رهان بعده فيه ميزة 44%. أما الرهان بأقل منه فما يكلّف إلا شوي: نص المبلغ يحافظ على حوالي ثلاثة أرباع النمو.
لمّا تكون الميزة تخمين
كيلي يفترض إن الميزة معروفة. بس على الطاولة إنت تقدّرها، والتقدير عادةً أعلى من اللازم. مثال إبستين، المبني على الـ44% حقت ثورب، رقم طلع 49 مرة في 1,225 دورة على عجلة بصفرالعجلةالصفرالخانة الخضرا الوحيدة اللي ما يغطيها أي رهان دفع متساوي أو دزينة أو عمود؛ وهي مصدر ميزة الكازينو. ينقال له بعد: الصفر الواحد، 0.اقرأ النص كله ← مزدوج: 1 من 25، يعني ميزة 44% ومبلغ كيلي 1.26%. بس العجلة النزيهة اللي فيها صفر مزدوج فيها 38 رقم، وأكثر واحد يطلع منهم يوصل 49 مرة أو أكثر في 1,225 دورة تقريبًا مرة من كل تسع. وأكثر رقم يطلع في أي سجل هو بعد الرقم اللي ساعده الحظ أكثر من غيره، فحتى الخانة المنحازة صج تبين في السجل أحسن من حقيقتها: هذي لعنة الفائز. وإذا طلعت هذيك الخانة في الحقيقة مو منحازة، فمبلغ كيلي مو إلا رهان يخسر 5.26% في المتوسط. والحلين المعتادين: إنك تراهن بجزء من مبلغ كيلي، وإنك تكمّل العدّ لين الميزة تثبت في سجل جديد (شوف «شلون تكشف انحياز عجلة الروليت»).
ناس عندهم ميزة
إنك تعرف الميزة شي، وإنك تستخدمها صح شي ثاني. هاغاني وديوي (2016) عطوا 61 شخص $25 لكل واحد عشان يراهنون نص ساعة على عملة قالوا لهم إنها تطلع صورة في 60% من المرات، والأرباح لها سقف $250 (اللاعبين ما عرفوا عن السقف إلا لمّا وصلوه). معيار كيلي يقول راهن بـ20% من رأس المال على الصورة كل مرة، والمؤلفين يقدّرون إن الرهانات الثابتة بين 10 و20% كانت بتوصل السقف تقريبًا في 95% من الحالات. بس 21% بس من اللاعبين وصلوه. و28% أفلسوا، و18 من الـ61 راهنوا بكل اللي عندهم على رمية وحدة، وحوالي الثلث خلّصوا بأقل من الـ$25 اللي بدوا فيها، ومتوسط الدفعالمالالدفعاللي يرجّعه لك الرهان الرابح، وينكتب بصيغة «X مقابل 1» فوق مبلغ الرهان اللي يرجع لك.اقرأ النص كله ← كان $91. وبس خمسة من الـ61 كانوا سامعين عن معيار كيلي. لمّا يكون عندك ميزة، حجم الرهانات هو اللي يقرر إذا بتحافظ عليها؛ وبدونها، مثل على عجلة نزيهة، ما فيه حجم ينفع.
شنو تستخدم بداله
بدون ميزة، تحديد المبلغ مسألة ميزانية مو مسألة نمو: مبلغ الرهان = اللي إنت مستعد تصرفه في كل دورة، تحسبه من ميزانية الساعة وسرعة الطاولة (صفحة إدارة رأس المال). اللي يقدّمه معيار كيلي للاعب العادي هو وضوح جوابه: صفر. وكل شي تراهن فيه فوق الصفر هو سعر اللعب، إنت تختاره، وما فيه صيغة تحسّنه.
ملاحظة عن كيلي الجزئي و«إدارة الفلوس»
الأنظمة اللي تنباع على إنها «كيلي للروليت» وتنصح بنسبة ثابتة من رأس المال في كل رهان هي رهان ثابتاستراتيجيةالرهان الثابتإنك تراهن بنفس المبلغ كل دورة. هذا الأساس اللي ينقارن فيه كل تدرّج.اقرأ النص كله ← بمبلغ قاعد يصغر. تخسر 2.70% من إجمالي المراهناتالمالإجمالي المراهناتالمبلغ الكلي اللي تراهن فيه خلال جلسة أو فترة، مع الأرباح اللي رجعت تنراهن. ينقال له بعد: handle، action.اقرأ النص كله ←، ولأن المبلغ يصغر كل ما خسرت، تخلّي الإفلاس بطيء مو مستبعد. طريقة معقولة عشان الميزانية تطوّل؛ بس مو معيار كيلي، لأن كيلي كان بيقول لك وقّف.
الصيغة
أسئلة
بس إذا عندك ميزة مقيسة من عجلة منحازةالمختبرالعجلة المنحازةعجلة عيوبها المادية تخلي بعض الخانات احتمالها أكبر من 1/37. نادرة، وما تنكشف إلا بآلاف الدورات المسجّلة.اقرأ النص كله ← أو من جهاز توقيت. مو على عجلة نزيهة.
لأن تقدير الميزة فيه غلط، والرهان بأكثر من اللازم يكلّف أكثر من الرهان بأقل منه. نص كيلي يعطيك ثلاثة أرباع النمو مقابل ربع التباينرياضياتالتباينمقياس لكم النتائج منتشرة حول القيمة المتوقعة. عالي في رهان الرقم الواحد، وواطي في رهانات الدفع المتساوي.اقرأ النص كله ←.
لا. معيار كيلي يحسّن النمو لمّا تكون فيه ميزة. وإدارة رأس المال تضبط الصرف لمّا ما فيه ميزة.
وناسة الرياضيات
جرّب تحلها بنفسك أول. كل حل مسكّر؛ افتحه لمّا تكون جاهز.
جهاز التنبؤ اللي سواه ثورب وشانون كان يعطي ميزة تقريبًا 44%. وعلى رقم واحد متنبَّأ فيه، معيار كيلي يقول راهن بـ1.26% من رأس مال اللعبالمالرأس مال اللعبالمبلغ الكلي اللي تخصصه للعب. وإدارة رأس المال إنك تحدد كم منه تخاطر فيه في كل رهان وفي كل جلسة.اقرأ النص كله ←. طيب لو نفس الميزة، 44%، جات على رهان واحد موزّع على خمسة أرقام جنب بعض؟
شوف الحل
الجواب ساعتها كيلي يقول 7.1% من رأس المال، ورأس المال يكبر أسرع بستة أضعاف تقريبًا: حوالي 1.25 مليون ضعف على 1,000 رهان، مقابل حوالي 11.5 ضعف.
رهان الرقم الواحدرهانرهان الرقم الواحدرقم واحد، ويدفع 35:1.اقرأ النص كله ← بميزة 44% يربح باحتمال 0.04، لأن 36 × 0.04 = 1.44. ومبلغ كيلي هو الميزة مقسومة على نسبة الدفع: 0.44/35 = 1.26%. والنمو النموذجي في كل رهان هو 0.04 × ln(1 + 35 × 0.0126) + 0.96 × ln(1 − 0.0126) ≈ 0.00244، يعني 1,000 رهان تضرب رأس المال في تقريبًا e^2.44 ≈ 11.5.
وزّع مبلغ رهان واحد على خمسة أرقام، والرهان يربح باحتمال 0.20 ويدفع 36/5 لكل 1، يعني 6.2 مقابل 1: الميزة بعدها 44%، لأن 0.2 × 7.2 = 1.44. ومبلغ كيلي يصير 0.44/6.2 = 7.10%، والنمو في كل رهان 0.01404، يعني تقريبًا 5.75 ضعف. وعلى 1,000 رهان هذا يطلع e^14.04، يعني تقريبًا 1.25 مليون.
الميزة نفسها؛ بس الطلعات والنزلات أصغر. الرهان اللي يربح مرة من كل خمس يقدر يشيل حصة أكبر من رأس المال بدون ما يخاطر بالإفلاس، ونمو كيلي يكافئ هذا. وثورب (1984) يستخدم المثال عشان يوضح ليش لاعبين التنبؤ يراهنون على القطاعاتالعجلةالقطاعقوس متصل من الخانات على العجلة، مو مجموعة على لوحة الرهان.اقرأ النص كله ←. وفي الواقع خمسة جيرانرهانالجيرانرقم والخانتين اللي على كل جهة منه على العجلة، بخمس فيشات على أرقام مفردة.اقرأ النص كله ← ميزتهم أقل شوي من أحسن رقم بروحه (شوف اللعب بميزة).
لاعب لقى خانتينالمعداتالخانةوحدة من الحجرات الـ37 المرقّمة على الدوّار. ينقال لها بعد: الفتحة، الكأس.اقرأ النص كله ← جنب بعض، كل وحدة تطلع 1 من 25 بدال 1 من 37. يراهن على رهان الرقمينرهانرهان الرقمينرقمين جنب بعض، ويدفع 17:1.اقرأ النص كله ← بينهم بدفع 17 مقابل 1، ولا على كل رقم برهان الرقم الواحد؟ كم يقول كيلي، وشكثر سرعة نمو رأس المال مقارنةً بخانة وحدة من هالنوع؟
شوف الحل
الجواب ما فيه فرق: 2.59% من رأس المال على رهان الرقمين، أو 1.29% على كل رقم. ورأس المال النموذجي يكبر تقريبًا 155 مرة في 1,000 دورة، مقابل 11.5 مرة مع خانة وحدة.
رهان الرقمين يربح، واحتمالرياضياتالاحتمالفرصة إن نتيجة معيّنة تصير، من 0 لين 1 أو من 0% لين 100%. رقم واحد: 1/37 = 2.70%.اقرأ النص كله ← هذا 2/25 = 0.08، ويدفع 17 مقابل 1، فيرجّع 18 × 0.08 = 1.44 عن كل وحدةالمالالوحدةمبلغ الرهان الأساسي اللي يشتغل فيه نظام أو لاعب. التدرّجات تنوصف بالوحدات عشان تنطبق على أي طاولة.اقرأ النص كله ← تراهن فيها: ميزة 44%، مثل خانة منحازة وحدة. ومبلغ كيلي هو الميزة مقسومة على نسبة الدفع: 0.44/17 = 2.59%.
رهانين على الرقم الواحد، كل واحد 1.29%، يعطون نفس النتايج بالضبط. لمّا يطلع واحد من الرقمين، فيشةالمالالفيشةقطعة تمثّل مبلغ ثابت، تحطها على لوحة الرهان عشان تراهن. ينقال لها بعد: check.اقرأ النص كله ← تربح 35 مقابل 1 والثانية تروح، والصافي 34 × 1.29% = 44% من رأس المال، نفس اللي يدفعه رهان الرقمين؛ ولمّا ما يطلع ولا واحد منهم، الاثنين يروحون.
النمو في كل دورة 0.00505، مقابل 0.00244 لخانة وحدة، فعلى 1,000 دورة رأس المال النموذجي يكبر e^5.046 ≈ 155 مرة بدال e^2.44 ≈ 11.5 مرة. رقمين زينين يسوون وايد أكثر من ضعف رقم واحد، وعشان كذا لاعبين الانحياز يراهنون على مجموعات أرقام. وثورب (1984) يسوي نفس المقارنة.
استراحة ضحك
المبلغ الأمثل للنمو في الروليت رقم الكل يعرفه من قبل.
المصادر
- Kelly, J. L. “A new interpretation of information rate.”
- Breiman, L. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Haghani, V. & Dewey, R. “Rational decision-making under uncertainty: observed betting patterns on a biased coin.”