التقارب على المدى الطويل: قانون الأعداد الكبيرة في الروليت
شلون يستقر المتوسط على −2.70%، وليش ياخذ هذا وقت أطول من اللي يتوقعه الحدس.
متوسط الخسارة في الدورة يقرب من −1/37 كل ما زادت الدورات، والتشتت حوله يصغر بمعدل 1/√N. بعد 1,000 دورة على الأحمر يكون المتوسط عادةً في حدود ±3% من قيمته المتوقعة.
قانون الأعداد الكبيرة
المتوسط الجاري للرهانات المستقلة يروح باتجاه القيمة المتوقعةرياضياتالقيمة المتوقعةمتوسط النتيجة لكل رهان على المدى الطويل. −1/37 من مبلغ الرهان لكل رهان أوروبي قياسي.اقرأ النص كله ←. بعد N دورة على الدفع المتساوي برهان وحدةالمالالوحدةمبلغ الرهان الأساسي اللي يشتغل فيه نظام أو لاعب. التدرّجات تنوصف بالوحدات عشان تنطبق على أي طاولة.اقرأ النص كله ← وحدة، تكون القيمة المتوقعة لمتوسط النتيجة في الدورة −1/37 والانحراف المعياريرياضياتالانحراف المعياريالجذر التربيعي للتباين؛ يعني المسافة المعتادة بين النتيجة والقيمة المتوقعة.اقرأ النص كله ← مالها 1/√N. عند N = 100 يوصل هذا التشتت 10% من مبلغ الرهان، يعني تقريبًا أربعة أضعاف الإشارة اللي هي 2.7%. وعند N = 1,000 يصير 3.2%، تقريبًا نفس حجم الإشارة. وعند N = 10,000 ينزل لين 1%، والميزة تبين بوضوح. في جلسة وحدة ما تشوف الميزة، وفي سنة كاملة ما تقدر ما تشوفها.
شنو اللي يتقارب وشنو اللي ما يتقارب
المتوسط في الدورة يتقارب. أما المجموع فلا: يبتعد عن الصفر أكثر وأكثر كل ما كبرت N، بحوالي 2.7% من N في المتوسط، وحوله تشتت قدره √N. اللاعب اللي لعب 10,000 دورة برهان $10 المتوقع إنه يكون خسران $2,700، زايد أو ناقص $1,000. نسبة الأحمررهانالأحمررهان دفعه متساوي على الأرقام الحمراء الـ18. بالفرنسي: rouge.اقرأ النص كله ← الجارية استقرت من زمان قريب من 48.65%؛ أما الرصيد الجاري فما استقر في أي مكان.
- p10 −$440
- p25 −$280
- الوسيط −$140
- p75 +$0
- p90 +$140
ليش يغلط الحدس
الناس يتوقعون إن الميزة تبين بسرعة لأن 2.70% تبين نسبة كبيرة، ويتوقعون إن السلاسل الطويلة «تتعادل» لأن قانون الأعداد الكبيرةرياضياتقانون الأعداد الكبيرةمتوسط النتائج المستقلة يقرّب من القيمة المتوقعة كل ما زاد عدد التجارب.اقرأ النص كله ← يقول إن المتوسطات تتقارب. الحدسين الاثنين يغلطون في تقدير الحجم: الميزة صغيرة مقارنةً مع تباينرياضياتالتباينمقياس لكم النتائج منتشرة حول القيمة المتوقعة. عالي في رهان الرقم الواحد، وواطي في رهانات الدفع المتساوي.اقرأ النص كله ← الدورة الوحدة (σ = 1 وحدة مقابل EV = 0.027)، فتحتاج (1/0.027)² ≈ 1,400 دورة عشان تبين بمقدار سيغما وحدة. وتقارب المتوسط ما يسوّي ولا شي عشان يرجّع المجموع؛ كل اللي يسوّيه إنه يخفّف التذبذبات اللي فاتت.
التقارب في الرهانات الثانية
في رهانات الرقم الواحدرهانرهان الرقم الواحدرقم واحد، ويدفع 35:1.اقرأ النص كله ← σ = 5.84، فنفس الحساب يعطي (5.84/0.027)² ≈ 47,000 دورة لين توصل الميزة سيغما وحدة. اللي يراهن على الرقم الواحد يقدر يلعب سنين والميزة ما تبين في سجلاته عن الحظ، وهو يدفع بالضبط نفس الـ2.70% اللي يدفعها اللي يراهن على الأحمر ويشوفها خلال أسابيع.
شنو يعني هذا لاختبار أنظمة الرهان
أي واحد يقول إن نظام معيّن يشتغل لازم يقدر يثبت هذا على 10,000 دورة أو أكثر بمتوسط موجب موثّق. عند 1,000 دورة، المتوسط الموجب على الدفع المتساوي يصير مرة من كل خمس حسب فرضية العدم؛ وعند 100 دورة تقريبًا مثل رمية عملة. والمحاكيات في هذا الموقع تشغّل 2,000 جلسة بالطول اللي تختاره في ثانية وحدة، وهذا دليل أكثر من أي شهادة.
الصيغة
أسئلة
احتمالرياضياتالاحتمالفرصة إن نتيجة معيّنة تصير، من 0 لين 1 أو من 0% لين 100%. رقم واحد: 1/37 = 2.70%.اقرأ النص كله ← إنك ترجع رابح في يوم من الأيام ينزل باتجاه الصفر كل ما لعبت. والمجموع ينزل بدون حد.
لا. يعني إن التذبذبات اللي فاتت تصير جزء أصغر من عينة أكبر.
في الدفع المتساوي، حوالي 10,000 قبل ما تبين الميزة بوضوح. وفي الرقم الواحد، حوالي 50,000.
وناسة الرياضيات
جرّب تحلها بنفسك أول. كل حل مسكّر؛ افتحه لمّا تكون جاهز.
ربعين يلعبون 20 جولة من لعبة عادلةرياضياتاللعبة العادلةلعبة ما فيها أي طرف عنده ميزة: القيمة المتوقعة لكل رهان صفر.اقرأ النص كله ←، رمي عملة أو الأحمررهانالأحمررهان دفعه متساوي على الأرقام الحمراء الـ18. بالفرنسي: rouge.اقرأ النص كله ← ضد الأسودرهانالأسودرهان دفعه متساوي على الأرقام السوداء الـ18. بالفرنسي: noir.اقرأ النص كله ← والرهانات ترجع عند الأصفارالعجلةالصفرالخانة الخضرا الوحيدة اللي ما يغطيها أي رهان دفع متساوي أو دزينة أو عمود؛ وهي مصدر ميزة الكازينو. ينقال له بعد: الصفر الواحد، 0.اقرأ النص كله ←، ويسجّلون النتيجة أول بأول. عدّ الجولات اللي يكون فيها كل واحد منهم متقدم (التعادل ينحسب للي كان متقدم قبله على طول). أي شي احتماله أكبر: إن التقدم ينقسم 10 جولات مقابل 10، ولا إن واحد منهم يتقدم في الـ20 جولة كلها؟
شوف الحل
الجواب إن واحد يتقدم في الـ20 جولة كلها احتماله وايد أكبر: 35.2%، سواء كان هذا أو هذاك، مقابل 6.1% لقسمة متساوية 10 مقابل 10.
احتمال إن النتيجة في لعبة عادلة تكون متعادلة بعد 2k جولة هو u = C(2k, k)/2²ᵏ: 0.246 بعد 10 جولات و0.176 بعد 20. ونتيجة كلاسيكية، قانون قوس الجيب، تقول إن احتمال إن ربيع معيّن يتقدم في 2k جولة بالضبط من 2n هو u(2k) × u(2n − 2k).
إنه يتقدم في الـ20 جولة كلها: u(20) × u(0) = 0.176 لكل واحد، و35.2% لأي واحد منهم. والقسمة المتساوية: u(10) × u(10) = 0.246² = 6.1%، وهي أقل قسمة احتمالًا من الكل.
يعني في اللعبة العادلة التقدم نادرًا ما ينتقل من واحد لواحد. واللاعب اللي قعد متقدم طول الليل، أو متأخر طول الليل، ما شاف شي غريب، وهذا ما يقول شي لا عن العجلة ولا عن المهارة. وإبستين (2013) يعطي نفس القانون للألعاب الأطول: في نص الحالات الطرف اللي حظه أحسن يتقدم في أكثر من 85% من اللعب.
استراحة ضحك
المتوسط يتقارب. أما المجموع فيمشي وبس.
المصادر
- Bernoulli, J. Ars Conjectandi.
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.