اختبار مربع كاي
الاختبار المعروف لسؤال «هل هذي الأعداد الـ37 هي اللي تطلّعها عجلة نزيهة؟»
χ² = Σ (المرصود − المتوقع)² / المتوقع على الـ37 خانة كلها. قارنه بتوزيع مربع كاي على 36 درجة حرية عشان تطلع قيمة p.
شلون تحسبه
العدد المتوقع لكل خانةالمعداتالخانةوحدة من الحجرات الـ37 المرقّمة على الدوّار. ينقال لها بعد: الفتحة، الكأس.اقرأ النص كله ← هو n/37. لكل خانة، ربّع الفرق بين المرصود والمتوقع واقسمه على المتوقع؛ وبعدين اجمع الـ37 حدّ. العجلة النزيهة تعطي قيم حول 36 في المتوسط (عدد درجات الحريةالمختبردرجات الحريةعدد القيم المستقلة في أي إحصاء. في اختبار مربع كاي على 37 خانة يساوي 36، لأن مجموع الأعداد لازم يساوي الإجمالي.اقرأ النص كله ←)، مع انحراف معياريرياضياتالانحراف المعياريالجذر التربيعي للتباين؛ يعني المسافة المعتادة بين النتيجة والقيمة المتوقعة.اقرأ النص كله ← تقريبًا 8.5. فوق 51.0 دالّ عند مستوى 5%؛ وفوق 58.6 عند 1%. محلّل انحياز العجلة يحسب الإحصاء وقيمة pالمختبرقيمة pاحتمال إنك تشوف انحراف حجمه على الأقل مثل اللي شفته لو كانت العجلة نزيهة.اقرأ النص كله ← بالضبط من دالة غاما الناقصة المنتظمة.
مثال محلول
1,000 دورة. ست وثلاثين خانة طلعت بين 20 و34 مرة؛ والخانة 8 طلعت 41. المتوقع 27.03. حدّ الخانة 8 بروحه (41 − 27.03)²/27.03 = 7.2. خل نفترض إن مجموع الـ36 حدّ الباقية 38 (شي عادي). χ² = 45.2 على 36 df، وp ≈ 0.14. مو دالّ: العجلة النزيهة تسوي كذا مرة من كل سبع. الخانة 8 مرشّحة، مو اكتشاف، والجواب ألف دورة ثانية.
الافتراضات
دورات مستقلةرياضياتالدورات المستقلةكل دورة لها نفس الاحتمالات مهما كان اللي قبلها. وهذا أساس كل حساب في هذا الموقع.اقرأ النص كله ←، وأعداد متوقعة على الأقل 5 لكل خانة، يعني n ≥ 185 عشان يكون الاختبار صالح أصلًا، ووايد أكثر عشان يفيد. إذا خلطت دورات من كم عجلة، فإنت تخالف الافتراض الأول في روحه (إنت تختبر خليط، مو عجلة). وأثر بصمة الموزّع بيخالفه فعليًا، وبيكبّر χ² بدون ما تكون أي خانة مفضّلة فيزيائيًا.
بيرسون ومونت كارلو
كارل بيرسون نشر الاختبار سنة 1900، ومن أول أمثلته المحلولة كانت 26,306 دورة روليت مسجّلة في مونت كارلو، لقاها بعيدة وايد عن التساوي لدرجة ما تكون صدفة، وأعلن إن «روليت مونت كارلو… مو لعبة حظ». بعدين استنتج كتّاب إن الصحفيين اللي سجّلوا الدورات لجريدة اخترعوا وايد منها، وهذا بروحه درس عن مصدر البيانات.
بيرسون ينشر اختبار مربع كاي لجودة المطابقة، ويستخدم دورات مونت كارلو مثال.
الناس يشكّكون في بيانات الدورات؛ ويبين إن المسجّلين اخترعوا سلاسل منها.
فيشر يحط تعريف رسمي لدرجات الحرية؛ وعُرف الـ5% يثبت.
الإحصائيين يستخدمون دورات الروليت بيانات للكتب الدراسية في اختبارات التساوي.
عائلة غارسيا بيلايو تطبّق الطريقة على بيانات حقيقية مسجّلة وتربح في مدريد.
الكازينوهات تسوي نفس الاختبار على عجلاتها كجزء من الصيانة العادية.
اختبار حقيقي: العجلات الأوتوماتيكية في لاس فيغاس
وايد لاعبين يشكّون إن العجلة الأوتوماتيكية توجّه الكرةالمعداتالكرةالكرة الصغيرة اللي تنطلق في المسار عكس اتجاه الدوّار. الكرات الحديثة من الإيفورين أو التفلون، وقطرها 18–21 مم.اقرأ النص كله ← بعيد عن الرهانات الكبيرة. تحليل في 2017 حط هالشك تحت الاختبار على عجلات Interblock اللي فيها صفرالعجلةالصفرالخانة الخضرا الوحيدة اللي ما يغطيها أي رهان دفع متساوي أو دزينة أو عمود؛ وهي مصدر ميزة الكازينو. ينقال له بعد: الصفر الواحد، 0.اقرأ النص كله ← مزدوج وبدون موزّع في لاس فيغاس، بالرهان على قوس من خمسة أرقام متجاورة، نفس نوع الرهان اللي يسويه اللي يراقب العجلة. في 299 دورة القوس ربح 29 مرة والمتوقع 39.3، ونقص بهالحجم تطلّعه العجلة النزيهة تقريبًا 4% من المرات. مربع كاي على الـ38 خانة كلها طلع 45.29 على 37 درجة حرية: p = 16.5%. وعينة ثانية من 1,204 دورة على ثلاث عجلات عطت χ² = 34.79، وp = 57%، وولا قوس من أي حجم جرّبوه طلع دالّ. والعينتين مع بعض، 1,503 دورة، عطت χ² = 41.75، وp = 27%. والحكم: ما فيه دليل على توجيه الكرة. العينة الأولى بروحها كان شكلها يشكّك؛ والثانية هي اللي حسمت الموضوع..
أبعد من مربع كاي
إذا تشك في خانة وحدة، اختبار ثنائي الحدين أقوى. وإذا تشك في قوس، اختبار z لـالقطاعالعجلةالقطاعقوس متصل من الخانات على العجلة، مو مجموعة على لوحة الرهان.اقرأ النص كله ← اللي في صفحة تحليل القطاعات. مربع كاي اختبار شامل: يقول لك إن فيه شي مو مضبوط بدون ما يقول لك شنو. استخدمه أول، وبعدين دوّر.
الصيغة
أسئلة
الأعداد الـ37 لازم مجموعها يساوي n، فبس 36 منها حرّة تتغيّر.
عجلة فيها خانة تطلع بنسبة 1/25 في 10,000 دورة بتعطي حدّ لهالخانة بروحها تقريبًا 60؛ وχ² تقريبًا 100، وp عمليًا صفر.
تقنيًا إي، والمتوقع 5.4 لكل خانة. بس ما بيكشف ولا شي إلا إذا كانت العجلة فيها خانة مسكّرة بالغراء.
استراحة ضحك
اجمع مربعات المفاجآت. وقارنها بـ51.0.
المصادر
- Pearson, K. “On the criterion that a given system of deviations from the probable…”
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Wizard of Odds. “Organic Roulette Experiment.”